Question

已知定義在正實數集上的函數f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）+g（x），證明：若，則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求在公共點處的切線方程，只須分別求出其斜率的值，利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．利用兩個斜率相等得到等式，從而用a表示b．最后再利用導數的方法求b的最大值即可，研究函數的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值．
（II）不妨設x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，變形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁令T（x）=h（x）-8x，接下來利用導數研究它的單調性即可證x₁＞x₂命題成立．
解答：解：（Ⅰ）設f（x）與g（x）交于點P（x，y），則有f（x）=g（x），
即x²+4ax+1=6a²lnx+2b+1（1）
又由題意知f'（x）=g'（x），即（2）（2分）
由（2）解得x=a或x=-3a（舍去）
將x=a代入（1）整理得（4分）
令，則h'（a）=2a（1-3lna）時，
h（a）遞增，時h（a）遞減，所以h（a）
即b≤，b的最大值為（6分）

（Ⅱ）不妨設x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，，
變形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁
令T（x）=h（x）-8x，，
∵，
∴，
T（x）在（0，+∞）內單調增，T（x₂）＞T（x₁），同理可證x₁＞x₂命題成立（12分）
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．