Question

已知橢圓的右焦點為F，右準線與x軸交于E點，若橢圓的離心率e=，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過F的直線交橢圓于A，B兩點，且與向量共線（其中O為坐標原點），求與的夾角．

Answer 1

解：（1）由題意知，c=1，從而b=1．

（2）由（1）知F（1，0），顯然直線不垂直于x軸，可設直線AB：y=k（x-1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
則=，
于是，
依題意：，故，或k=0（舍）
又，故，
所以與的夾角為90°．
分析：（1）由題意知，由此可求出a，b的值．
（2）設直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，然后結合題意利用根與系數和關系進行求解．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，避免出錯．