Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁與BC所成的角的大��；
（2）在棱B₁C₁上確定一點P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意建立如圖的空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，利用向量的夾角求出要求的兩條直線的夾角；
（2）利用上一問寫出相應的向量的坐標，利用向量的夾角求出二面角的大小．
解答：解：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，
則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），
B₁（0，4，2），，．，
故AA₁與棱BC所成的角是．
（2）設，
則P（2λ，4-2λ，2）．
于是（舍去），
則P為棱B₁C₁的中點，其坐標為P（1，3，2）．
設平面P-AB-A₁的法向量為=（x，y，z），
則⇒⇒
故=（-2，0，1）．
而平面ABA₁的法向量是=（1，0，0），
則，
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是．
點評：此題重點考查了利用圖形建立恰當的空間直角坐標系，利用向量的夾角求出線線的夾角及二面角的大�。�