Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，點A₁在底面ABC的射影是BC中點O．
（1）若P是B₁C上的動點，在AA₁上找一點E，使OE⊥OP恒成立；
（2）求直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連結AO，過點O作OE⊥AA₁，垂足為E．根據等腰三角形“三線合一”證出AO⊥BC，結合A₁O⊥BC證出BC⊥平面A₁AO，從而OE⊥BC．由AA₁∥BB₁且OE⊥AA₁，證出OE⊥BB₁，得到OE⊥平面BB₁C₁C，結合OP?平面BB₁C₁C得OE⊥OP．最后利用題中數據在RtRt△A₁AO中算出AE=

1

5

AA₁，得當點E點滿足AE=

1

5

AA₁時，OE⊥OP恒成立；
（2）連結AC₁，交A₁C于點F，根據（1）的結論算出A₁C=2

2

，等腰△AA₁C中算出AF=

3

，從而AC₁=2AF=2

3

．Rt△AA₁O中算出OE=

2 5

5

，由OE⊥平面BB₁C₁C且AA₁∥平面BB₁C₁C，得到點A到平面平面BB₁C₁C的距離d=

2 5

5

，最后根據直線與平面所成角的定義及性質，即可算出AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答：解：（1）連結AO，過點O作OE⊥AA₁，垂足為E
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁∥BB₁，∴OE⊥BB₁，
∵AB=AC，O為BC的中點，∴AO⊥BC，
∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁O⊥BC，
∵AO∩A₁O=A，∴BC⊥平面A₁AO
∵OE?平面A₁AO，∴OE⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內的相交直線，∴OE⊥平面BB₁C₁C．
∵OP?平面BB₁C₁C，∴OE⊥OP，
∵△ABC中，AB=AC=

5

，BC=4，∴中線AO=

AB2-( 1 2 BC)2

=1，
∵Rt△A₁AO中，AA₁=

5

，∴A₁O=

AA12-AO2

=2，
∵OE是Rt△A₁AO斜邊A₁A上的高線，∴

A1E

AE

=

A1O2

AO2

=4，可得AE=

1

5

AA₁，
∴當在AA₁上的點E點滿足AE=

1

5

AA₁時，OE⊥OP恒成立；
（2）連結AC₁，交A₁C于點F
由（1）可得：Rt△A₁OC中，A₁C=

A1O2+OC2

=2

2

∵△AA₁C中，AC=AA₁=

5

，∴AF=

AC2-( 1 2 A1C)2

=

3

．
因此，菱形AA₁C₁C中，AC₁=2AF=2

3

∵AA₁∥平面BB₁C₁C，OE⊥平面BB₁C₁C，∴AA₁到平面平面BB₁C₁C的距離等于OE，
Rt△AA₁O中，OE=

AO•A1O

AA1

=

1•2

5

=

2 5

5

，即AA₁到平面平面BB₁C₁C的距離等于

2 5

5

．
∴點A到平面平面BB₁C₁C的距離d=

2 5

5

，
設直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角為α，可得sinα=

d

AC1

=

2 5 5

2 3

=

15

15

，
即直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值等于

15

15

．

點評：本題在特殊三棱柱中求證線面垂直、線線垂直，并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了空間垂直位置關系的判斷與證明和直線與平面所成角的定義及其性質等知識，屬于中檔題．