Question

設函數f(x)=cos(

3

x+φ)(-π＜φ＜0)，若f（x）+f′（x）為偶函數，則φ=

-

π

3

．

Answer 1

分析：通過化簡可得f（x）+f′（x）=2sin（

3

x+φ+

5

6

π），由f（x）+f′（x）為偶函數，知當x=0時f（x）+f′（x）取得最值，由此可得φ+

5

6

π=kπ+

π

2

，k∈Z，根據φ的范圍即可解得φ值．

解答：解：f（x）+f′（x）=cos（

3

x+φ）-

3

sin（

3

x+φ）=2sin（

3

x+φ+

5

6

π），
因為f（x）+f′（x）為偶函數，
所以當x=0時2sin（

3

x+φ+

5

6

π）=±2，則φ+

5

6

π=kπ+

π

2

，k∈Z，
所以φ=kπ-

π

3

，k∈Z，
又-π＜φ＜0，
所以φ=-

π

3

．
故答案為：-

π

3

．

點評：本題考查導數的運算、函數的奇偶性及三角恒等變換，考查學生對問題的理解解決能力，屬中檔題．