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如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,側面B1BCC1與底面ABC所成的二面角為120°,E、F分別是棱B1C1、A1A的中點
(Ⅰ)求A1A與底面ABC所成的角;
(Ⅱ)證明A1E∥平面B1FC;
(Ⅲ)求經過A1、A、B、C四點的球的體積.

【答案】分析:(Ⅰ)要求A1A與底面ABC所成的角,先作出直線與平面所成的角,通過解三角形即可.
(Ⅱ)要證明A1E∥平面B1FC,可以在平面B1FC中作出直線FP(P為CB1的中點),證明A1E∥FP即可.
(Ⅲ)求經過A1、A、B、C四點的球的體積,找到球心H,求出球的半徑,即可.
解答:解:(Ⅰ)過A1作A1H⊥平面ABC,垂足為H.
連接AH,并延長交BC于G,于是∠A1AH為A1A與底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC,∴AG為∠BAC的平分線.
又∵AB=AC,∴AG⊥BC,且G為BC的中點.
因此,由三垂線定理A1A⊥BC.
∵A1A∥B1B,且EG∥B1B,∴EG⊥BC.
于是∠AGE為二面角A-BC-E的平面角,
即∠AGE.
由于四邊形A1AGE為平行四邊形,得∠A1AG=60°.

(Ⅱ)證明:設EG與B1C的交點為P,則點P為EG的中點.連接PF.
在平行四邊形AGEA1中,因F為A1A的中點,故A1E∥FP.
而FP?平面B1FC,A1E?平面B1FC,所以A1E∥平面B1FC.
(Ⅲ)連接A1C.在△A1AC和△A1AB中,由于AC=AB,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A,
則△A1AC≌△A1AB,故A1C=A1B.由已知得A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC,∴H為△ABC的外心.
設所求球的球心為O,則O∈A1H,且球心O與A1A中點的連線OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中,A1O===
故所求球的半徑R=a,球的體積V=πR3=πa3
點評:本題考查棱柱的結構特征,考查空間想象能力和邏輯思維能力,直線與歐美所成的角等有關知識,是難題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AC⊥BC.側面A1ABB1是邊長為a的菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60°,E,F分別是AB1,BC的中點.  
(1)求證:直線EF∥平面A1ACC1;   
(2)在線段AB上確定一點G,使平面EFG⊥平面ABC,并給出證明;  
(3)記三棱錐A-BCE的體積為V,且V∈[
32
,12]
,求a的取值范圍.

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如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,又BC1⊥AC,過C1作C1H⊥底面ABC,垂足為H,則點H一定在(  )

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(2007•武漢模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中 AB=BC=2,∠ABC=120°,又頂點A1在底面ABC上的射影落在AC上,側棱AA1與底面成60°的角,D為AC的中點.
(1)求證:AA1⊥BD;
(2)若面A1DB⊥面DC1B,求側棱AA1之長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A'B'C'中,∠ABC=90°,則側面A'ACC'⊥側面ABC,又AA'和底面所成60°的角,且AA'=2a,AB=BC=
2
a

(1)求平面ABB'A'與底面ABC所成的角的正切值;
(2)求側面BB'C'C的面積.

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