Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）如果方程有兩個不相等的解，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）對函數進行求導得，再對進行分類討論，解不等式，即可得答案；

（2）當時，在單調遞增，至多一個根，不符合題意；當時，在單調遞減，在單調遞增，則.不妨設，只要證，再利用函數的單調性，即可證得結論.

（1）.

①當時，單調遞增；

②當時，單調遞減；

單調遞增.

綜上：當時，在單調遞增；

當時，在單調遞減，在單調遞增.

（2）由（1）知，

當時，在單調遞增，至多一個根，不符合題意；

當時，在單調遞減，在單調遞增，則.

不妨設，

要證，即證，即證，即證.

因為在單調遞增，即證，

因為，所以即證，即證.

令

，

.

當時，單調遞減，又，

所以時，，即，

即.

又，所以，所以.