Question

（2012•昌平區一模）已知D是由不等式組

x-y≥0 x+ 3 y≥0

所確定的平面區域，則圓x²+y²=4在區域D內的弧長為

5π

6

；該弧上的點到直線3x+y+2=0的距離的最大值等于

2+

10

5

．

Answer 1

分析：結合二元一次不等式（組）與平面區域的關系畫出其表示的平面區域，再利用圓的方程畫出圖形，最后利用弧長公式計算即可．
先設出與已知直線平行的直線方程，利用直線與圓相切求出直線方程，再求兩直線間的距離問題即可（把問題轉化為求兩直線間的距離求解）．

解答：解：滿足約束條的可行域D，
及圓x²+y²=4在區域D內的弧，如下圖示：
∵直線x-y=0與直線x+

3

y=0
的傾斜角分別為45°以及150°；
∴圓在平面區域內的弧長為：

π

6

×2+

π

4

×2=

5π

6

．
設與直線3x+y+2=0平行的直線方程為：3x+y+c=0
當直線3x+y+c=0與圓相切時，切點到已知直線的距離最遠；
因為：d=

|c|

32+12

=2⇒c=-2

10

，（c=2

10

舍）
即切線方程為：3x+y-2

10

=0
此時兩平行線間的距離為：

|2-(-2 10 )|

32+12

=2+

10

5

．
即該弧上的點到直線3x+y+2=0的距離的最大值等于2+

10

5

．
故答案為：

5π

6

，2+

10

5

．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．