Question

已知函數f（x）=cos²x+

3

sinx•cosx+1
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）求y=f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數的最小正周期，根據正弦函數的增區間，求出此函數的增區間；
（II）由x的范圍求出“2x+

π

6

”的范圍，再由正弦函數的性質求出函數的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f(x)=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+1
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+

3

2

則y=f（x）的最小正周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈z）得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
∴y=f（x）的單調遞增區間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈z），
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

得，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即1≤sin(2x+

π

6

)+

3

2

≤

5

2

，
∴所求的函數的最大值和最小值為：

5

2

、1．

點評：本題考查了倍角公式和兩角差的正弦公式，正弦函數的性質應用，屬于中檔題，