Question

已知f（x）=|x²-4x-5|
（1）求函數f（x）的零點；
（2）討論方程|x²-4x-5|=K（K∈R）的解的情況．

Answer 1

分析：（1）根據函數零點與方程根之間的關系，解方程|x²-4x-5|=0，即可求出函數f（x）的零點；
（2）根據二次函數的圖象和性質及對折變換法則，我們易畫出函數f（x）的圖象，根據圖象，分別討論f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k交點的個數，即可得到方程|x²-4x-5|=k的解的情況．

解答：解：（1）令f（x）=|x²-4x-5|=0
即x²-4x-5=0
解得x=-1，或x=5，
即函數f（x）的零點為-1和5．
（2）函數f（x）的圖象如圖所示：

由圖得：
當k＜0時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k無交點，則方程|x²-4x-5|=k無解；
當k=0，或k＞9時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k有兩個交點，則方程|x²-4x-5|=k有兩解；
當0＜k＜9時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k有四個交點，則方程|x²-4x-5|=k有四解；
當k=9時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k有三個交點，則方程|x²-4x-5|=k有三解．

點評：本題考查的知識點是函數圖象的作法，函數的零點，根的存在性及根的個數的判斷，其中（2）中的數形結合是高中的第一大數學思想，要引起大家的重視．