Question

已知等差數列{a_n}中，a₁＜0且a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，設b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），當{b_n}的前n項和S_n取最小值時，n的值為

1. A.
   48
2. B.
   50
3. C.
   48或50
4. D.
   48或49

Answer 1

C
分析：由數列為等差數列，利用等差數列的性質化簡a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，得到a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0，由a₁小于0，得到a₁₀₀大于0，可得此數列為遞增數列，進而得到a₅₀小于0，a₅₁大于0，即此數列的前50項均為負值，從51項開始變為負值，根據b_n=a_na_n+1a_n+2，表示出{b_n}的前n項和S_n，利用兩數相乘取符號的法則，即可得到{b_n}的前n項和S_n取最小值時n的值．
解答：∵等差數列{a_n}，
∴a₁+a₁₀₀=a₂+a₉₉=…=a₅₀+a₅₁，
又a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，
∴50（a₁+a₁₀₀）=50（a₅₀+a₅₁）=0，即a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0，
又a₁＜0，∴a₁₀₀＞0，即等差數列為遞增數列，
∴a₅₀＜0，a₅₁＞0，
∵b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），
∴{b_n}的前n項和S_n=a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2，
則當{b_n}的前n項和S_n取最小值時，n的值為48或50．
故選C
點評：此題考查了等差數列的性質，是一道中檔題．其中根據等差數列的性質得到a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0是解本題的關鍵．