Question

已知函數f（x）=axlnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和最值；
（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，證明：f（m）+f（n）≥f（m+n）-a（m+n）ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=alnx+a（x＞0），當a＞0時f（x）單調遞增區間為[

1

e

，+∞)，單調遞減區間為(0，

1

e

]．當a＜0時f（x）單調遞增區間為(0，

1

e

]，單調遞減區間為[

1

e

，+∞)．
（Ⅱ）g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln

m+x

2

(x＞0)可得g′(x)=alnx+a-aln

m+x

2

-a=aln

2x

m+x

可以證得g'（x）≤0，∴g（x）是減函數，
∴g（x）≥g（m）=0

解答：（Ⅰ）∵f'（x）=alnx+a（x＞0），
當a＞0時，令f'（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．
∴x≥e-1=

1

e

．，∴x∈[

1

e

，+∞)．
同理，令f'（x）≤0，可得x∈(0，

1

e

]．
∴f（x）單調遞增區間為[

1

e

，+∞)，單調遞減區間為(0，

1

e

]．
由此可知y=f(x)min=f(

1

e

)=-

a

e

．無最大值．
當a＜0時，令f'（x）≥0，即lnx≤-1=lne^-1．∴x≤e-1=

1

e

．，∴x∈(0，

1

e

]．
同理，令f'（x）≤0可得x∈[

1

e

，+∞)．
∴f（x）單調遞增區間為(0，

1

e

]，單調遞減區間為[

1

e

，+∞)．
由此可知y=f(x)max=f(

1

e

)=-

a

e

．此時無最小值．
（Ⅱ）不妨設m≥n＞0，令n=x，
記g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln

m+x

2

(x＞0)
g′(x)=alnx+a-aln

m+x

2

-a=aln

2x

m+x

∵m+x≥2x∴

2x

m+x

≤1，∴aln

x-m

m+x

≤0，
∴g'（x）≤0，∴g（x）是減函數，
∵m≥x＞0，∴g（x）≥g（m）=0∴g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln

m+x

2

≥0，即得證．

點評：解決此類問題的關鍵是先求函數的導數討論其中的參數得到函數的單調性進而得到函數的最值，證明不等式一般是抽象出一個新的函數利用導函數的單調性進行證明，研究函數的單調性、最值、證明不等式是解答題考查的一個重點．