Question

已知點F₁（-1，0），F₂（1，0），動點G滿足|GF1|+|GF2|=2

2

．
（Ⅰ）求動點G的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）已知過點F₂且與x軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡Ω于P、Q兩點．在線段OF₂上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件，根據橢圓的定義，可求動點G的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程與橢圓方程聯立，根據MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，可得(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，則有(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，利用向量的數量積公式，結合韋達定理，即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=2

2

，且|F1F2|＜2

2

知，動點G的軌跡是以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點的橢圓，
設該橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0， b＞0)，c=

a2-b2

，
由題知c=1，a=

2

，
則b²=a²-c²=2-1=1，
故動點G的軌跡Ω的方程是

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）假設在線段OF₂上存在M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．
直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．（6分）

MP

=(x1-m，y1)，

MQ

=(x2-m，y2)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，其中x₂-x₁≠0．
由于MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，
∴(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，則有(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，（8分）
從而（x₂+x₁-2m，y₂+y₁）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₂+x₁-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
又y=k（x-1），
則y₂-y₁=k（x₂-x₁），y₂+y₁=k（x₂+x₁-2），
故上式變形為(x2+x1-2m)+k2(x2+x1-2)=0，（10分）
將x1+x2=

4k2

1+2k2

代入上式，得(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0，
即2k²-（2+4k²）m=0，
∴m=

k2

1+2k2

（k≠0），可知0＜m＜

1

2

．
故實數m的取值范圍是(0， 

1

2

)．（13分）

點評：本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．