Question

（2013•江門一模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內（含正方體表面）任取一點M，則

AA1

•

AM

≥1的概率p=

3

4

．

Answer 1

分析：本題是幾何概型問題，欲求點M滿足

AA1

•

AM

≥1的概率，先以A為原點建立空間直角坐標系，由數量積公式得出點M到平面ABCD的距離大于等于

1

2

，點M的軌跡是正方體的

3

4

，求出其體積，再根據幾何概型概率公式結合正方體的體積的方法求解即可．

解答：解：本題是幾何概型問題，正方體的體積為V=8，
以A為原點建立空間直角坐標系，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸．
那么A（0，0，0），A₁（0，0，2）
設M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴

AM

=（x，y，z），

AA1

=（0，0，2）
則

AA1

•

AM

≥1，即2z≥1，z≥

1

2

．
即點M與平面ABCD的距離大于等于

1

2

，點M的軌跡是正方體的

3

4

，其體積為：V₁=

3

4

×8，
則

AA1

•

AM

≥1的概率p為：

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點評：本小題主要考查幾何概型、幾何概型的應用、幾何體的體積等基礎知識，考查空間想象能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題