Question

數列{a_n}中，a₁＝－，當n>1，n∈N_＋時，S_n＋＝a_n－2，

(1)求S₁，S₂，S₃的值；

(2)猜想S_n的表達式，并證明你的猜想.

Answer 1

【解析】(1)當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，

∴S_n＋＝S_n－S_n－1－2，

∴S_n＝－(n≥2).

∴S₁＝a₁＝－，S₂＝－＝－，S₃＝－＝－.

(2)猜想S_n＝－，下面用數學歸納法證明：

①當n＝1時，S₁＝－＝－，猜想正確；

②假設當n＝k時猜想正確，即S_k＝－，

那么當n＝k＋1時，S_k＋1＝－＝－

＝－，

即當n＝k＋1時猜想也正確.

根據①、②可知，對任意n∈N_＋，都有S_n＝－.