Question

已知函數f（x）=x³-x²，x∈R．
（Ⅰ）若正數m、n滿足m•n＞1，證明：f（m）、f（n）至少有一個不小于零；
（Ⅱ）若a、b為不相等的正數，且滿足f（a）=f（b），求證：a+b＞1．

Answer 1

證明：（Ⅰ）假設f（m）、f（n）都不小于零，∴f（m）=m³-m＜0，f（n）=n³-n＜0，
∴m²（m-1）＜0，∴0＜m＜1，同理0＜n＜1，∴0＜mn＜1，這與mn＞1矛盾，
∴f（m）、f（n）至少有一個不小于零．
（Ⅱ）∵f（a）=a³-a=b³-b，∴a³-b³=a²-b²，∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），
∴a²+ab+b²=a+b，∴（a+b）²-3ab=a+b，∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，
∴（a+b）²-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，∵a、b為不相等的正數，∴a+b＞1．
分析：（Ⅰ）證明：假設f（m）、f（n）都不小于零，可證得0＜m＜1，0＜n＜1，故有 0＜mn＜1，這與mn＞1矛盾．
（Ⅱ） 由f（a）=f（b），可得∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，由（a+b）²-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，根據a、b為不相等的正數，可得a+b＞1．
點評：本題考查用反證法和放縮法證明數學命題，一元二次不等式的解法，得到∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，是解題的關鍵．