Question

設α∈(0, ),函數f(x)的定義域為［0,1］，且f(0)=0，f(1)=1，當x≥y時，有f()=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．

(1)求f,f；

(2)求α的值；

(3)求函數g(x)=sin(α-2x)的單調遞增區間．

Answer 1

解：（1）f（）=f（）

=f（1）sina+（1-sina）f（0）

=sina,

f（）=ff（）sina+（1-sina）f（0）

=sin

（2）f（）=f()

=f（1）sina+（1-sina）

=sina（2-sina）,

而f（）=f

=f（）sinα+（1-sinα）f（）

=sin²α（3-2sinα）,

∴sinα=sin²α（3-2sinα）,

∴sinα=0或sinα=1或sinα=.

∵α∈（0,）,∴α=.

（3）g（x）=sin（-2x）=sin（2x+π）,

∴g（x）的單調遞增區間為[k-]（k∈Z）.