Question

已知函數，.
（1）求函數的最小值；
（2）若，證明：當時，.

Answer 1

（1）h(0)＝0；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、不等式的基本性質等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力，考查學生的函數思想.第一問，先得到表達式，對求導，利用“單調遞增；單調遞減”解不等式求函數的單調區間，利用函數的單調性確定最小值所在的位置；第二問，先將和代入到所求的式子中，得到①式，再利用第一問的結論，即，即得到，通過且得，在上式中兩邊同乘得到②式，若成立則所求證的表達式成立，所以構造函數φ(t)＝(1－t)^k－1＋kt，證明即可.
（1）h(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－1－x，h¢(x)＝e^x－1．
當x∈(－∞，0)時，h¢(x)＜0，h(x)單調遞減；
當x∈(0，＋∞)時，h¢(x)＞0，h(x)單調遞增．
當x＝0時，h(x)取最小值h(0)＝0．       4分
（2）即．   ①
由（1）知，，即，
又，則．
所以．       ②  7分
設φ(t)＝(1－t)^k－1＋kt，t∈[0，1]．
由k＞1知，當t∈(0，1)時，φ¢(t)＝－k(1－t)^k－1＋k＝k[1－(1－t)^k]＞0，
φ(t)在[0，1]單調遞增，當t∈(0，1)時，φ(t)＞φ(0)＝0．
因為，所以，
因此不等式②成立，從而不等式①成立．      12分