Question

10．如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點；
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱錐E-ABC的體積；
（3）求EC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥AD，利用線面平行的判定定理，可得EF∥平面PAD；
（2）求出V_P-ABCD，即可求三棱錐E-ABC的體積；
（3）取AB的中點G，連接EG，CG，則∠ECG為EC與平面ABCD所成角．

解答 （1）證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點
∴EF∥BC       …（1分）
∵BC∥AD
∴EF∥AD       …（2分）
∵AD?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD  …（3分）
（2）解：∵AP=AB，BP=2，AP⊥平面ABCD
∴AB=AP=$\sqrt{2}$  …（4分）
∵S_矩形ABCD=AB•BC=2$\sqrt{2}$
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_矩形ABCD•PA=$\frac{4}{3}$ …（5分）
∴三棱錐E-ABC的體積V=$\frac{1}{4}$V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$ …（6分）
（3）解：取AB的中點G，連接EG，CG，則∠ECG為EC與平面ABCD所成角，
∵EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CG=$\sqrt{4+\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ECG=$\frac{1}{3}$．

點評 本小題主要考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質、棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力．屬于中檔題．