Question

在△ABC中，化簡cos4A+cos4B+cos4C-4cos2Acos2Bcos2C=

-3

．

Answer 1

分析：先cos4A用二倍角公式化成2A的關系，再由2A=2π-2B-2C運用兩角和與差的公式進行化簡合并．

解答：解：∵cos4A+cos4B+cos4C-4cos2Acos2Bcos2C
=2cos²2A-1+2cos²2B-1+2cos²2C-1-4cos2Acos2Bcos2C
=2cos²（2π-2B-2C）+2cos²2B+2cos²2C-4cos（2π-2B-2C）cos2Bcos2C-3
=2cos²（2B+2C）+2cos²2B+2cos²2C-4cos（2B+2C）cos2Bcos2C-3
=2（cos²2Bcos²2C+sin²2Bsin²2C-2cos2Bcos2Csin2Bsin2C）+2cos²2B+2cos²2C-4（cos2Bcos2C-sin2Bsin2C）cos2Bcos2C-3
=2cos²2Bcos²2C+2sin²2Bsin²2C-4cos2Bcos2Csin2Bsin2C+2cos²2B+2cos²2C-4cos²2Bcos²2C-4sin2Bsin2Ccos2Bcos2C-3
=2sin²2Bsin²2C+2cos²2B+2cos²2C-2cos²2Bcos²2C-3
=2cos²2B（1-cos²2C）+2sin²2Bsin²2C+2cos²2C-3
=sin²2C（2sin²2B+2cos²2B）+2cos²2C-3
=2sin²2C）+2cos²2C-3
=-3
故答案為：-3．

點評：本題主要考查二倍角公式和兩角和與差的余弦公式．這里注意是在三角形中解題，故內角和為π是經常被用到的．