Question

已知函數f(x)=lnx+

a-x

x

，其中a為大于零的常數．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=1-2x平行，求a的值；
（II）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a的值即可；
（II）對參數a進行分類，先研究f（x）在[1，2]上的單調性，利用導數求解f（x）在[1，2]上的最小值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值即得．

解答：解：f′(x)=

1

x

+

-x-(a-x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）（.4分）
（I）因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=1-2x平行，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（II）當0＜a≤1時，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數∴f（x）_min=f（1）=a-1．（8分）
當1＜a＜2時，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）∵對于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數，
對于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上為增函數，∴f（x）_min=f（a）=lna．（11分）
當a≥2時，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數，∴f(x)min=f(2)=ln2+

a

2

-1．
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當0＜a≤1時，f（x）_min=a-1，
②當1＜a＜2時，f（x）_min=lna，
③當a≥2時，f(x)min=ln2+

a

2

-1（13分）

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．