Question

橢圓

x2

6

+

y2

3

=1中，F₁、F₂為左、右焦點，A為短軸一端點，弦AB過左焦點F₁，則△ABF₂的面積為（　　）

• A．3
• B．

  3 3

  2

• C．4

  3

• D．4

Answer 1

分析：先判斷△AOF₁是等腰直角三角形，△AOF₂也是等腰直角三角形，從而△F₁AF₂也是等腰直角三角形，故可得∠BAF₂=90°，設|BF₁|=x，根據橢圓定義，x+|BF₂|=2a=2

6

，利用勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，可求得x=

6

3

，從而可求△ABF₂的面積．

解答：解：由題意，a=

6

，b=

3

，c=

3

，|OA|=|OF₁|=

3

，
∴△AOF₁是等腰直角三角形，同理△AOF₂也是等腰直角三角形，
∴△F₁AF₂也是等腰直角三角形，
∴|F₁A|=|F₂A|=

6

，
∴∠BAF₂=90°，
設|BF₁|=x，根據橢圓定義，x+|BF₂|=2a=2

6

．
根據勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，
（

6

+x）²+（

6

）²=（2

6

-x）²，
∴x=

6

3

，
∴S_△ABF2=

1

2

|AB|×|AF₂|=

1

2

（

6

+

6

3

）×

6

=4．
故選D．

點評：本題以橢圓的標準方程為載體，考查橢圓焦點三角形的面積，解題的關鍵是求出判斷出∠BAF₂=90°．