Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，四邊形是的內接四邊形，的延長線與的延長線交于點，且.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）設不是的直徑，的中點為，且，證明：為等邊三角形.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由圓的內接四邊形的性質得，由等腰三角形的性質得，則有
，充分挖掘角的等量關系是解題關鍵；（Ⅱ）要證明為等邊三角形，只需證明三個內角相等．由得，需證，故只需證明．由得，在弦的垂直平分線上，該直線必然是直徑所在的直線，又是非直徑的弦的中點，故該直線垂直于，則，進而證明為等邊三角形．
試題解析：（I）由題設知四點共圓，所以．由已知得，故．
（II）設的中點為，連接，則由知，故在直線上．又不是的直徑，的中點為，故，即．所以，故．又
，故．由（1）知，，所以為等邊三角形.

【考點定位】1、圓的內接四邊形的性質；2、垂徑定理的推論．