Question

11．已知U=R，集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）＜0]}，集合$B=\left\{{x\left|{\frac{x-2a}{{x-（{{a^2}+1}）}}＜0}\right.}\right\}$．
（1）當a=2時，求A∩∁_UB；
（2）當a≠1時，若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，分別求出集合A，B，由此能求出A∩∁_UB．
（2）由A∪B=A，得B?A，a≠1，根據3a+1＞2，3a+1＜2，3a+1=2分別進行分類討論經，能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，
∵集合A={x|（x-2）（x-7）＜0}={x|2＜x＜7}，
集合B={x|$\frac{x-4}{x-5}＜0$}={x|4＜x＜5}．
∴A∩∁_UB={x|2＜x＜7}∩{x|x≤4或x≥5}={x|2＜x≤4或5≤x＜7}．
（2）∵A∪B=A，∴B?A，
由于a≠1，當3a+1＞2時，集合A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），
再由B?A，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a＞2}\\{2a≥2}\\{3a+1≥{a}^{2}+2}\\{a≠1}\end{array}\right.$，解得 1＜a≤3．
當3a+1＜2時，集合A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），
由B?A可得 $\left\{\begin{array}{l}{3a+1＜2}\\{2a≥3a+1}\\{2≥{a}^{2}+1}\\{a≠1}\end{array}\right.$，解得 a=-1．
當3a+1=2時，A=∅，不滿足條件．
綜上可得，實數a的取值范圍 {a|1＜a≤3，或a=-1}．

點評 本題考查并集的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意并集、交集定義及分類討論思想的合理運用．