Question

如圖，已知在坐標平面xOy內，M、N是x軸上關于原點O對稱的兩點，P是上半平面內一點，△PMN的面積為，點A的坐標為(1＋，)，＝m·(m為常數)，·＝||

(1)求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程；

(2)過點B(－1，0)的直線l交橢圓于C、D兩點，交直線x＝－4于點E，點B、E分的比分別為λ₁、λ₂，求λ₁＋λ₂的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設M(－c，0)，N(c，0)(c＞0)，P(x0，y0)，則＝(2c，0)·(x0，y0)＝2cx0， 　　2cx0＝2c，故x0＝1．① 　　又∵S△PMN＝ (2c)|y0|＝，y0＝．② 　　∵＝(x0＋c，y0)，＝(1＋)，由已知(x0＋c，y0)＝m(1＋)，即．　故(x0＋c)＝(1＋)y0．③ 　　將①②代入③，(1＋c)＝(1＋)·，c2＋c－(3＋)＝0，(c－)(c＋＋1)＝0， 　　∴c＝，y0＝． 　　設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)． 　　∵a2＝b2＋3，P(1，)在橢圓上， 　　∴＝1．故b2＝1，a2＝4． 　　∴橢圓方程為＋y2＝1．　6分 　　(2)①當l的斜率不存在時，l與x＝－4無交點，不合題意． 　　②當l的斜率存在時，設l方程為y＝k(x＋1)， 　　代入橢圓方程＋y2＝1， 　　化簡得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0．　8分 　　設點C(x1，y1)、D(x2，y2)，則 　　 　　∵－1＝， 　　∴λ1＝．　9分 　　λ1＋λ2＝[2x1x2＋5(x1＋x2)＋8]， 　　而2x1x2＋5(x1＋x2)＋8＝2·＋5·(8k2－8－40k2＋32k2＋8)＝0， 　　∴λ1＋λ2＝0．　12分