Question

（2013•天津）設a∈[-2，0]，已知函數f(x)=

x3-(a+5)x， x≤0 x3- a+3 2 x2+ax， x＞0

（Ⅰ） 證明f（x）在區間（-1，1）內單調遞減，在區間（1，+∞）內單調遞增；
（Ⅱ） 設曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，且x₁x₂x₃≠0，證明x1+x2+x3＞-

1

3

．

Answer 1

分析：（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax(x＞0)．分別求導即可得到其單調性；
（II）由（I）可知：f′（x）在區間（-∞，0）內單調遞減，在區間(0，

a+3

6

)內單調遞減，在區間(

a+3

6

，+∞)內單調遞增．
已知曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，可知x₁，x₂，x₃互不相等，利用導數的幾何意義可得f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，根據以上等式可得x2+x3=

a+3

3

，從而0＜x2＜

a+3

6

＜x3．設g（x）=3x²-（a+3）x+a，利用二次函數的單調性可得g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3

x

2 1

-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5 3

＜x1＜0，于是可得x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，通過換元設t=

2a+5 3

，已知a∈[-2，0]，可得t∈[

3

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，即可證明．

解答：解：（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax(x＞0)．
①

f

′ 1

(x)=3x2-(a+5)，由于a∈[-2，0]，從而當-1＜x＜0時，

f

′ 1

(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，
所以函數f₁（x）在區間（-1，0）內單調遞減，
②

f

′ 2

(x)=3x2-(a+3)x+a=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1時，

f

′ 2

(x)＜0；
當x＞1時，

f

′ 2

(x)＞0，即函數f₂（x）在區間（0，1）內單調遞減，在區間（1，∞）上單調遞增．
綜合①②及f₁（0）=f₂（0），可知：f（x）在區間（-1，1）內單調遞減，在區間（1，+∞）內單調遞增；
（II）證明：由（I）可知：f′（x）在區間（-∞，0）內單調遞減，在區間(0，

a+3

6

)內單調遞減，在區間(

a+3

6

，+∞)內單調遞增．
因為曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，從而x₁，x₂，x₃互不相等，且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，由3

x

2 1

-(a+5)=3

x

2 2

-(a+3)x2=3

x

2 3

-(a+3)x3+a．
可得3

x

2 2

-3

x

2 3

-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=

a+3

3

，從而0＜x2＜

a+3

6

＜x3．
設g（x）=3x²-（a+3）x+a，則g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3

x

2 1

-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5 3

＜x1＜0，
所以x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，
設t=

2a+5 3

，則a=

3t2-5

2

，
∵a∈[-2，0]，∴t∈[

3

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，
故x1+x2+x3＞-

1

3

．

點評：本題主要考查了導數的運算與幾何意義，利用導數研究函數的單調性，考查了分類討論的思想、化歸思想、函數思想，考查了分析問題和解決問題的能力．