Question

下列命題：
①函數f（x）=sin²x-cos²x的最小正周期是π；
②函數f（x）=（1-x）

1+x 1-x

是偶函數；
③若

∫

a 1

1

x

dx=1（a＞1），則a=e；  
④橢圓2x²+3y²=m（m＞0）的離心率不確定．
其中所有的真命題是（　　）

A．①②

B．③④

C．②④

D．①③

Answer 1

分析：①利用三角函數的性質判斷．②利用函數奇偶性的定義判斷．③利用微積分定理判斷．④利用橢圓的離心率公式判斷．

解答：解：①由f（x）=sin²x-cos²x得f（x）=sin²x-cos²x=-cos2x，周期T=

2π

2

=π，所以①正確．
②要使函數有意義，則

1+x

1-x

≥0，解得-1≤x＜1，定義域關于原點不對稱，所以函數f（x）為非奇非偶函數，所以②錯誤．
③由

∫

a 1

1

x

dx=1得lnx|

a 1

=lna-ln1=lna=1，解得a=e，所以③正確．
④橢圓的標準方程為

x2

m 2

+

y2

m 3

=1，則a2=

m

2

，b2=

m

3

，所以c2=a2-b2=

m

2

-

m

3

=

m

6

，所以

c2

a2

=

m 6

m 2

=

2

6

=

1

3

，即e=

3

3

，離心率為定值，所以④錯誤．
故真命題為①③．
故選D．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，綜合性較強涉及的知識點較多．