Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-）cos+cos²，（ω＞0）
（1）若函數(shù)y=f（x）的周期為π，將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再把所得的函數(shù)圖象向右平移個單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）解析式，并求其對稱中心．
（2）若函數(shù)y=f（x）在[，π]上是減函數(shù)，求ω的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡可得函數(shù)f（x）=sin（ωx+），由周期求得ω的值，再根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)g（x）的解析式，從而求得函數(shù)g（x）的對稱中心．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+） 在[，π]上是減函數(shù)，故有 ≤ω•+ 且ω•+≤，由此解得ω的取值范圍．
解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=sin（π-）cos+cos²=sinωx+-
=sin（ωx+），
由周期π= 可得ω=2，故f（x）=sin（2x+）．
函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，可得函數(shù)y=sin（4x+）的圖象，
再把所得的函數(shù)圖象向右平移個單位得到函數(shù)y=g（x）=sin[4（x-）+]
=sin（4x+）的圖象．
令4x+=kπ，解得 x=-，k∈z，故g（x）的對稱中心為（-，0），k∈z．
（2）由于函數(shù)f（x）=sin（ωx+） 在[，π]上是減函數(shù)，
故有 ≤ω•+ 且ω•+≤，可得 ≤ω≤，
故ω的取值范圍為[，]．
點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．