Question

已知函數.

（1）若在處取得極值，求實數的值；

（2）求函數在區間上的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用函數在處取得極值，得到求出的值，并對此時函數能否在處取得極值進行檢驗，從而確定的值；（2）先求出導數，由條件得到的取值范圍，從而得到導數的符號與相同，從而對是否在區間內進行分類討論，并確定函數在區間上的單調性，從而確定函數在區間上的最大值.

試題解析：（1）因為， 

所以函數的定義域為，且，

因為在處取得極值，所以.

解得．

當時，，

當時，；當時，；當時，，

所以是函數的極小值點，故；

（2）因為，所以，

由（1）知，

因為，所以，

當時，；當時，．

所以函數在上單調遞增；在上單調遞減．

①當時，在上單調遞增，

所以．

②當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以；

③當，即時，在上單調遞減，

所以．

綜上所述：

當時，函數在上的最大值是；

當時，函數在上的最大值是；

當時，函數在上的最大值是．

考點：1.函數的極值與導數；2.函數的最值與導數；3.分類討論