Question

【題目】已知橢圓的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦距為．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（異于橢圓的左頂點(diǎn)），設(shè)點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．直線QM，QN的斜率分別為，，試問(wèn)：是否存在點(diǎn)Q，使得為定值？若存在．求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在x軸上存在點(diǎn)，使得為定值．

【解析】

（1）根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦距為直接代入即可

（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，它與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；所以直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為，把它和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積，代入到中，令對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例即可.

解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c．

因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為，

所以，

解得．則．

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

故答案為：．

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，它與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；所以直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為．

聯(lián)立，

得，．

設(shè)點(diǎn)，，

則，

，

要使為定值．則需滿足，

解得．

此時(shí)．

所以在x軸上存在點(diǎn)，使得為定值