Question

在等比數列{a_n}中，a₁=-1，a₄=64
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，由等比數列的性質和題意求出q，代入通項公式化簡；
（2）由（1）求出na_n代入S_n，根據式子的特點利用錯位相減法求出S_n．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，
由題意得，q3=

a4

a1

=-64，解得q=-4，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=-（-4）^n-1，
（2）由（1）得，na_n=-n（-4）^n-1，
∴S_n=-1-2×（-4）-3×（-4）²-…-n（-4）^n-1①，
-4S_n=4-2×（-4）²-3×（-4）³-…-（n-1）（-4）^n-1-n（-4）ⁿ②，
①-②得，5S_n=-1-[（-4）+（-4）²+（-4）³+…+（-4）^n-1]+n（-4）ⁿ
=-1-

(-4)[1-(-4)n-1]

1+4

+n（-4）ⁿ
=-

1

5

+

5n+1

5

(-4)n，
∴S_n=--

1

25

+

5n+1

25

(-4)n．

點評：本題本題考查等比數列的通項公式和性質，以及錯位相減法求數列的和，考查了計算能力．