Question

將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角后，有下列四個結論：
（1）AC⊥BD                     （2）△ACD是等邊三角形
（3）AB與平面BCD的夾角成60°   （4）AB與CD所成的角為60°
其中正確的命題有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據已知中正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，我們以O點為坐標原點建立空間坐標系，求出ABCD各點坐標后，進而可以求出相關直線的方向向量及平面的法向量，然后代入線線夾角，線面夾角公式，及模長公式，分別計算即可得到答案．

解答：解：連接AC與BD交于O點，對折后如圖所示，令OC=1
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，-1，0）
則

AC

=（-1，0，1），

BD

=（0，-2，0），∵

AC

• 

BD

 =0，∴AC⊥BD，故（1）正確；
∵|

AC

|=|

AD

|=|

CD

|=2|，∴△ACD為正三角形，故（2）正確；
∵

OA

為平面BCD的一個法向量，根據正方形的性質，易得AB與平面BCD所成角為45°，故（3）錯誤；

AB

=（-1，1，0），

CD

=（0，-1，-1），則|cos＜

AB

，

CD

＞=

AB •  CD

| AB || CD |

=

1

2

，∴AB與CD所成角為60°，故（4）正確；
故正確的命題為：（1）（2）（4）
故選C．

點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查空間中直線與平面之間的位置關系，根據已知條件構造空間坐標系，將空間線線夾角，線面夾角轉化為向量的夾角問題是解題的關鍵．