Question

如圖所示，某學校的教學樓前有一塊矩形空地ABCD，其長為32米，寬為18米，現要在此空地上種植一塊矩形草坪，三邊留有人行道，人行道寬度為a米與b米（a與b均不小于2米），且要求“轉角處”（圖中矩形AEFG）的面積為8平方米．
（Ⅰ）試用a表示草坪的面積S（a），并指出a的取值范圍；
（Ⅱ）如何設計人行道的寬度a、b，才能使草坪的面積最大？并求出草坪的最大面積．

Answer 1

分析：（I）利用面積，確定a，b的關系，可得a的范圍，進而可表示出草坪的面積S（a）；
（II）利用基本不等式，可求最值．

解答：解：（Ⅰ）由條件知，ab=8，  ∴b=

8

a

…（1分）
∵b≥2，∴

8

a

≥2，∴2≤a≤4…（3分）
∴S（a）=（32-2a）（18-b）
即：S(a)=-4(9a+

64

a

)+592（2≤a≤4）…（6分）
（Ⅱ）∵9a+

64

a

≥2

9a• 64 a

≥48…（9分）
當9a=

64

a

，即a=

8

3

時，上式取“=”號，則S（a）≤-4×48+592=400
即a=

8

3

時，S（a）取得最大值，最大值為400．…（11分）
答：當人行道的寬度a、b分別為

8

3

米和3米時，草坪的面積達到最大，最大面積是400平方米   …（12分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．