Question

已知函數f(x)=2x-n2+n+2（n∈Z）滿足f（8）-f（5）＞0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對于（1）中得到的函數f（x），試判斷是否存在k＞0，使h（x）=1-

k

2

f（x）+（2k-1）x在區間[-1，2]上的值域為[-4，

17

8

]？若存在，求出k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據f（8）＞f（5）判定f（x）在第一象限為增函數，得-n²+n+2＞0，求得n=0或n=；
（2）假設存在k＞0滿足條件，分析求解h（x）在[-1，2]上的最值，利用值域為[-4，

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8

]求k值．

解答：解：（1）∵f（8）＞f（5），
即f（x）在第一象限為增函數，
∴-n²+n+2＞0，得-1＜n＜2，
又由n∈Z，∴n=0或n=1，
∴f（x）=2x²．
（2）假設存在k＞0滿足條件，
由已知h（x）=-kx²+（2k-1）x+1，-1≤x≤2，
∵h（2）=-1，
∴兩個最值點只能在端點（-1，h（-1））和頂點（

2k-1

2k

，

4k2+1

4k

）處取得，
而

4k2-1

4k

-h（-1）=

4k2+1

4k

-（2-3k）=

(k-1)2

4k

≥0，
∴h_max=

4k2+1

4k

=

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8

且h_min=h（-1）=2-3k=-4
解得k=2，
故存在k=2滿足條件．

點評：本題考查指數函數的單調性，考查函數的值域及與值域相關的存在性問題，解答本題的關鍵是求h（x）在[-1，2]上的最值．