Question

（2007•崇文區二模）如圖所示，已知A（-1，0），B（1，0），直線l垂直AB于A點，P為l上一動點，點N為線段BP上一點，且滿足

BP

=2

BN

，點M滿足

PM

=λ

AB

（λ＞0），

MN

•

BP

=0．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程C；
（Ⅱ）在上述曲線C內是否存在一點Q，若過點Q的直線與曲線C交于兩點E、F，使得以EF為直徑的圓都與l相切．若存在，求出點Q的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由

MN

•

BP

=0，

BP

=2

BN

知MN為線段BP的垂直平分線，即|MB|=|MP|，由拋物線定義知點M的軌跡為拋物線，點B為焦點，直線l為準線，進而可得動點M的軌跡方程C；
（Ⅱ）結合（I）中結論，設EF為拋物線的焦點弦，設其中點為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T．根據梯形中位線定理可得EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑．即以EF為直徑的圓必與直線l相切．

解答：解：（I）由

BP

=2

BN

知點N為BP中點
由

PM

=λ

AB

（λ＞0），知

PM

∥

AB

且點M與B位于l同側
∵

MN

•

BP

=0，
∴

MN

⊥

BP

由此知MN為線段BP的垂直平分線，
所以應有|MB|=|MP|
由拋物線定義知點M的軌跡為拋物線，點B為焦點，直線l為準線…（8分）
因為A（-1，0），B（1，0），
所以l：x=-1
拋物線方程為y²=4x，即為點M的軌跡方程…（10分）
（II）存在點Q，即為焦點B（1，0）…（11分）
先證明如下：設EF為拋物線的焦點弦，設其中點為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T．
由梯形的中位線知：|HS|=

1

2

(|ER|+|FT|)=

1

2

(|EB|+|FB|)=

1

2

|EF|…（13分）
即以EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑．
所以以EF為直徑的圓必與直線l相切．
所以，存在點Q，其坐標為（1，0）．…（14分）

點評：本題考查的知識點是拋物線的定義及性質，熟練掌握拋物線的定義和性質及直線與圓的位置關系等基本知識點是解答本題的關鍵．