Question

（2009年）已知函數f（x）=ax³+3x²-6ax+b，g（x）=3x²+6x+12，h（x）=kx+9，又f（x）在x=2處取得極值9．
（1）求實數a、b的值；
（2）當x∈[-2，+∞）時，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在x=2處取得極值9建立兩個等式關系，求出兩個變量a，b即可．
（2）由題意知，g（x）=3x²+6x+12最小值9，f（x）在x=2處取得極值9，h（x）=kx+9的圖象是恒過（0，9）的直線，分別作出這三個函數的圖象，如圖所示，結合圖象可知，要使當x∈[-2，+∞）時，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，只須直線h（x）=kx+9的圖象在函數y=f（x）與y=g（x）中間穿過即可，從而得出直線 h（x）=kx+9的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+6x-6a，
由已知

f′(2)=0 f(2)=9

⇒

12a+12-6a=0 8a+12-12a+b=9

，
解得a=-2，b=-11．
（2）由于g（x）=3x²+6x+12=3（x+1）²+9，
故當x=-1時．g（x）取得最小值9；
又由題意知，f（x）在x=2處取得極值9；
h（x）=kx+9的圖象是恒過（0，9）的直線，其斜率為k．
分別作出這三個函數的圖象，如圖所示，
結合圖象可知，要使當x∈[-2，+∞）時，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，
只須直線h（x）=kx+9的圖象在函數y=f（x）與y=g（x）中間穿過即可，
此時直線 h（x）=kx+9的斜率大于等于0，
即實數k的取值范圍[0，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．