Question

（本小題滿分13分）某企業的產品以往專銷歐美市場，在全球金融風暴的影響下，歐美市場的銷量受到嚴重影響，該企業在政府的大力扶助下積極開拓國內市場，并基本形成了市場規模；自2009年9月以來的第n個月（2009年9月為第一個月）產品的內銷量、出口量和銷售總量（銷售總量=內銷量與出口量的和）分別為bn、cn和an(單位：萬件)，依據銷售統計數據發現形成如下營銷趨勢：bn + 1 =" a" an，cn + 1 =" an" + b an2 （其中a、b為常數），已知a1 = 1萬件，a2 = 1.5萬件，a3 = 1.875萬件．
（1）求a，b的值，并寫出an + 1與an滿足的關系式；
（2）試用你所學的數學知識論證銷售總量逐月遞增且控制在2萬件內；
（3）試求從2009年9月份以來的第n個月的銷售總量an關于n的表達式．

Answer 1

（1）an + 1 =" 2an" –an2 (n∈N*)
（2）略（3）an =" 2" – 2

（1）依題意：an + 1 =" bn" + 1 + cn + 1 =" a" an + an + b an2，
則a2 =" a" a1 + a1 + b a12   ∴a + 1 + b =            ①
則a3 =" a" a2 + a2 + b a22  ∴       ②
解①②得a = 1，b = – 從而an + 1 =" 2an" –an2 (n∈N*)    ………………………5分
（2）證法（Ⅰ）由于an + 1 =" 2an" –an2 = – (an – 2)2 + 2≤2．         
但an + 1≠2，否則可推得a 1=" a" 2= 2與a 1= 1，a2 = 1.5矛盾．故an + 1＜2 于是an＜2
又an + 1– an= –an2 + 2an – an = –an (an – 2) ＞0，
所以an + 1＞an 從而an＜an + 1＜2             …………………………………9分
證法（Ⅱ）由數學歸納法
（i）當n = 1時，a1 = 1，a2 = 1.5，顯然a1＜a2＜2成立
（ii）假設n = k時，  ak＜ak + 1＜2成立．
由于函數f (x) = –x2 + 2x = –(x – 2)2 + 2在[0，2]上為增函數，
則f (ak) ＜f (ak + 1) ＜f (2)即ak (4 – ak) ＜ak + 1(4 –ak + 1) ＜×2×(4 – 2)
即 ak + 1＜ak + 2＜2成立． 綜上可得n∈N*有an＜an + 1＜2 …………………………9分
（3）由an + 1 =" 2an" –an2得2 (an + 1– 2) =" –" (an – 2)2 即(2 – an + 1) = (2 – an)2
又由（2）an＜an + 1＜2可知2 – an + 1＞0，2 – an＞0  
則lg (2 – an + 1) =" 2" lg (2 – an) – lg 2  ∴lg (2 – an +1) – lg2 =" 2[lg" (2 – an) – lg2]
即{lg (2 – an + 1) – lg2}為等比數列，公比為2，首項為lg (2 – a1) – lg 2 =" –lg" 2
故lg (2 – an) – lg 2 =" (–lg" 2)·2n – 1 ∴an =" 2" – 2 (n∈N*)為所求………13分