Question

已知函數f(x)=log2

5+ax

5+x

，(-1≤x≤1)為奇函數，其中a為不等于1的常數；
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義f（-x）=-f（x），代入函數解析式得恒等式，利用恒等式中x的任意性即可得a的值；
（2）先將不等式f（x）＞m恒成立問題轉化為求函數f（x）在x∈[-1，1]時的最小值問題，再利用復合函數的單調性求最值即可

解答：解：（1）∵f(x)=log2

5+ax

5+x

，(-1≤x≤1)為奇函數
∴f（-x）=-f（x），即log2

5-ax

5-x

=-log2

5+ax

5+x

即

5-ax

5-x

=

5+x

5+ax

對x∈[-1，1]恒成立；
所以（5+ax）（5-ax）=（5+x）（5-x）
∴a=±1，
因為a為不等于1的常數，所以a=-1
（2）∵f(x)=log2

5-x

5+x

，(-1≤x≤1)
設t=

5-x

5+x

，(-1≤x≤1)，則f（t）=log₂t，
因為t=

5-x

5+x

=-1+

10

x+5

在[-1，1]上遞減所以

2

3

≤t≤

3

2

，
又因為f（t）=log₂t，在[

2

3

，

3

2

]上是增函數，
所以f(t)min=log2

2

3

因為對任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）_min＞m
所以m＜log2

2

3

點評：本題考查了奇函數的定義及其應用，不等式恒成立問題的解法，復合函數的單調性及其最值的求法，轉化化歸的思想方法