Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，點(diǎn)E滿足．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AE-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PA⊥平面ABCD，只需證明PA垂直平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線CD、CB即可；也可以利用空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積為0來證明垂直；
（2）在平面PAD中，過E作EF∥PA，交AD于F，過F作AC的垂線，垂足為G，連接EG，說明∠EGF為二面角E-AC-D的平面角，然后求二面角E-AE-D的余弦值．也可以利用法向量的數(shù)量積來解它的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）正方形ABCD中，CD⊥AD，
又CD⊥PD，
所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PA（2分）
又CB⊥AB，CB⊥PB
∴CB⊥平面PAB
∴CB⊥PA（4分）
又CB∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD（5分）

（Ⅱ）方法一：
在平面PAD中，過E作EF∥PA，交AD于F，過F作AC的垂線，垂足為G，連接EG，
∵EF∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥AC
又∵AC⊥FG，
∴AC⊥平面EGF
故EG⊥AC，
所以∠EGF為二面角E-AC-D的平面角（9分）
又EF=，在△ACD中，F(xiàn)G=
∴EG=（11分）
∴（12分）

方法二：
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（2，2，0），E（），=（2，2，0），=（）（7分）
設(shè)平面ACE的法向量，
則即取（9分）
又平面ACD的法向量為=（0，0，2）（10分）
∴（11分）
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
∴二面角E-AC-D的余弦值為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．