Question

已知橢圓E：的左焦點F₁（，0），若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF₁相切于線段DF₁的中點F。
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知兩點Q（-2，0），M（0，1）及橢圓G：，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設線段HK的中點為N，連結MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？
（Ⅲ）過坐標原點O的直線交橢圓W：于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB。

Answer 1

解：（Ⅰ）連接（O為坐標原點，為右焦點），
由題意知：橢圓的右焦點為，
因為FO是的中位線，且，
所以，
所以，
故，
在中，，
即，
又，
解得，
所求橢圓的方程為。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓G：，
設直線l的方程為y=k（x+2）并代入，
整理得：，
由得：，
設，
則由中點坐標公式得：，
①當k=0時，有N（0，0），直線MN顯然過橢圓的兩個頂點；
②當時，則，直線的方程為，
此時直線顯然不能過橢圓的兩個頂點；
若直線過橢圓的頂點，
則，即，
所以，解得：（舍去）；
若直線過橢圓的頂點，
則，即，
所以，解得：（舍去）；
綜上，當或或時， 直線過橢圓的頂點。
（Ⅲ）由（Ⅰ）得橢圓的方程為，
根據題意可設，則，
則直線的方程為，…①
過點P且與AP垂直的直線方程為，…②
①×②并整理得：，
又P在橢圓W上，
所以，所以，
即①、②兩直線的交點B在橢圓W上，
所以PA⊥PB。