Question

設函數f（x）=xsinx，若x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（x₁）＞f（x₂），則下列必定成立的是（　　）

A．x12＞x22

B．x₁＜x₂

C．x₁＞x₂

D．x₁+x₂＞0

Answer 1

分析：由于f（-x）=f（x），故函數f（x）=xsinx為偶函數，則f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=sinx+xcosx，當x＞0時，f′（x）＞0，從而可得答案．

解答：解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數f（x）=xsinx為偶函數，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當

π

2

＞x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，

π

2

]上單調遞增．
∵f（x₁）＞f（x₂），結合偶函數的性質
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x12＞x22．
故選A．

點評：本題考查函數f（x）=xsinx的奇偶性與單調性，得到f（x）為偶函數，在[0，

π

，2

]上單調遞增是關鍵，考查分析轉化能力，屬于中檔題．