Question

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=

3

．
（1）求證：CD⊥平面ADS；
（2）求AD與SB所成角的余弦值；
（3）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證CD⊥平面ADS，只需證明直線CD垂直平面ADS內的兩條相交直線AD、SD即可；
（2）要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角，解三角形可求AD與SB所成角的余弦值；
（3）過A作AE⊥DB于E  又過A作AF⊥SB于F，連接EF，說明∠AFB為二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．

解答：（I）證明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD（1分）
又SD⊥AB，AB∥CD，則CD⊥SD（2分）
AD⊥SD（3分）
∴CD⊥平面ADS（4分）

（II）解：矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，
∴要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角（5分）
在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．
∴Rt△SDC中，SC=

( 3 )2+22

=

7

∴CD是CS在面ABCD內的射影，且BC⊥CD，
∴SC⊥BC（6分）
tan∠SBC=

SC

CB

=

7

1

=

7

cos∠SBC=

2

4

（8分）
從而SB與AD的成的角的余弦為

2

4

．

（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD為面SDB與面ABCD的交線．
∴過A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB
又過A作AF⊥SB于F，連接EF，
從而得：EF⊥SB
∴∠AFB為二面角A-SB-D的平面角（10分）
在矩形ABCD中，對角線∵

12+22

=

5

BD=

5

∴在△ABD中，AE=

AB•CD

BD

=

1•2

5

=

2 5

5

由（2）知在Rt△SBC，SB=

( 7 )2+12

=

8

．
而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB²=SA²+AB²，
∴△SAB為等腰直角三角形且∠SAB為直角，
∴AF=

2

2

AB=

2

∴sin∠AFE=

AE

AF

=

2 5 5

2

=

10

5

所以所求的二面角的余弦為

15

5

（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，異面直線所成的角，考查學生邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．