Question

如圖，在△AGF中，∠AGF是直角，B是線段AG上一點，以AB為直徑的半圓交AF于D，連接DG交半圓于點C，延長AC交FG于E．
（I）求證D、C、E、F四點共圓；
（II）若

GE

GB

=

3

2

，求

2•GA

GF

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BC，通過AB是直徑，∠AGF是直角，推出E、B、C、G四點共圓，利用圓周角相等∠CEG=∠CDF，證明D、C、E、F四點共圓；
（Ⅱ）利用相交弦定理，以及已知條件直接推出

2•GA

GF

的值即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BC，因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，
∵∠AGF是直徑，∴E、B、C、G四點共圓，
∴∠ABC=∠CEG．
∵A、B、C、D四點共圓．∴∠ABC=∠CDF，
∴∠CEG=∠CDF，即D、C、E、F四點共圓；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D、C、E、F四點共圓，∴CE•GF=GC•GD，
又∵A、B、C、D四點共圓，∴GB•GA=GC•GD，∴GE•GF=GB•GA，
即

GA

GF

=

GE

GB

，

GE

GB

=

3

2

，
∴

2•GA

GF

=3．

點評：本題考查四點共圓的判斷方法，相交弦定理的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．