Question

若直線ax+by-1=0（a，b∈（0，+∞））平分圓x²+y²-2x-2y-2=0，則

1

a

+

2

b

的最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：由題意可得直線經過圓的圓心，故有a+b=1，從而

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

b

a

+

2a

b

，利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：∵直線ax+by-1=0（a，b∈（0，+∞））平分圓x²+y²-2x-2y-2=0，
∴直線ax+by-1=0經過圓x²+y²-2x-2y-2=0的圓心（1，1），
∴a+b=1，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

b

a

+

2a

b

∵a，b∈（0，+∞），∴

b

a

+

2a

b

≥2

b a × 2a b

=2

2

當且僅當

b

a

=

2a

b

時，

b

a

+

2a

b

的最小值為2

2

∴

1

a

+

2

b

的最小值是3+2

2

故答案為：3+2

2

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，基本不等式的應用，屬于基礎題．