Question

設(shè)M是△ABC中任意一點(diǎn)，且

AB

•

MC

=2

3

+

AB

•

MA

，∠BAC=30°，定義f（P）=（m，n，p），其中m、n、p分別表示△MBC、△MCA、△MAB的面積，若f(Q)=(

1

2

，x，y)，則在平面直坐標(biāo)系中點(diǎn)（x，y）的軌跡是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先求出|AB|•|AC|的值，再求出△ABC的面積等于1，再利用△ABC的面積等于

1

2

+x+y=1，由此得到點(diǎn)（x，y）的軌跡．

解答：解：∵

AB

•

MC

=2

2

+

AB

•

MA

，∠BAC=30°，∴

AB

•（

MC

- 

MA

）=2

3

，即

AB

•

AC

=2

3

．
∴|

AB

|•

|AC

|cosA=|

AB

|•

|AC

|cos30°=2

3

，∴|

AB

|•

|AC

|=4，
故△ABC的面積等于

1

2

•|

AB

|•

|AC

|•sin30°=1．
∵m、n、p分別表示△MBC、△MCA、△MAB的面積，由△ABC的面積為△MBC，△MCA，△MAB的面積之和1，
所以

1

2

+x+y=1，即 x+y=

1

2

 （x＞0，y＞0），
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，直線的一般式方程的特征，屬于中檔題．