Question

在O為坐標原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點．已知且點B的縱坐標大于零．
（1）求圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；
（2）設直線l平行于直線AB且過點（0，a），問是否存在實數a，使得橢圓上有兩個不同的點關于直線l對稱，若不存在，請說明理由；若存在，請求出實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設點B為（x，y），因為點A（4，-3）為△OAB的直角頂點和．
所以OA⊥AB且|OB|=|OA|??（因點B的縱坐標大于零另一組舍去）
所以直線OB的方程為．
又圓x²-6x+y²+2y=0?（x-3）²+（y+1）²=10．
圓心（3，-1）關于直線OB的對稱點為（1，3）．
所以圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．
（2）因為k_AB=，所以直線l的方程為y=x+a．
則橢圓上關于直線l對稱的兩個不同的點M（m，n），N（b，c）在直線y=-x+d上，
由?+d²-1=0．△=-4×＞0?d²＜10①．
且m+b=d，所以c+n=-（m+b）+2d=d，
所以M，N的中點為（d，d）在y=x+a上．
解得d=-a代入①?＜a＜．
故存在滿足題意的實數a，其取值范圍為．
分析：（1）先利用條件求點B的坐標以及直線OB的方程，再利用關于直線對稱的圓的方程的求法即可求出圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；
（2）先求出直線l的方程以及關于直線l對稱的兩點的坐標和直線l的方程之間的關系，再利用判別式的范圍來求實數a的取值范圍．
點評：在圓錐曲線的綜合大題中，主要考查解析幾何的有關知識，以及分析問題與解決問題的能力．值得引起重視的一個現象是，經常出現一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關系問題，同時要注意其與平面幾何、平面向量以及導數的知識的綜合命題．