Question

已知雙曲線的漸近線方程為y=±

1

2

x，兩頂點之間的距離為4，雙曲線的標準方程為

x2

4

-y2=1或

y2

4

-

x2

16

=1

．

Answer 1

分析：根據雙曲線的漸近線方程為y=±

1

2

x，且兩頂點之間的距離為4，可分焦點在x軸上還是在y軸上，從而可求雙曲線的標準方程．

解答：解：由題意，∵雙曲線的漸近線方程為y=±

1

2

x，且兩頂點之間的距離為4，
（1）當雙曲線的焦點在y軸上
設雙曲線的方程為：y²-

1

4

x²=k（k＞0）
兩頂點之間的距離為4，∴2

k

=4，k=4
∴雙曲線的方程為：

y2

4

-

x2

16

=1；
（2）當雙曲線的焦點在x軸上
設雙曲線的方程為：

1

4

x²-y²=k（k＞0）
兩頂點之間的距離為4，∴2×2

k

=4，k=1，
∴雙曲線的方程為：

x2

4

-y2=1；
故答案為：

x2

4

-y2=1或

y2

4

-

x2

16

=1．

點評：本題以雙曲線的性質為載體，考查雙曲線的標準方程，解題的關鍵是確定雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上．