Question

下列函數(shù)中，周期為1的奇函數(shù)是（　　）

• A．y=1-2sin²πx
• B．y=tan

  π

  2

  x
• C．y=sinπxcosπx
• D．y=sin(2π+

  π

  3

  )

Answer 1

分析：將各項(xiàng)中的函數(shù)化簡(jiǎn)整理，對(duì)照三角函數(shù)的奇偶性和周期公式，即可得到只有C項(xiàng)符合題意．

解答：解：∵函數(shù)y=1-2sin²πx=cos2πx，滿足f（-x）=f（x）
∴y=1-2sin²πx為偶函數(shù)，可得A項(xiàng)不正確；
因?yàn)楹瘮?shù)y=tan

π

2

x的周期為T(mén)=

π

π 2

=2≠1，可得B項(xiàng)不正確．
∵函數(shù)y=sinπxcosπx=

1

2

sin2πx，滿足f（-x）=-f（x）為奇函數(shù)，且T=

2π

2π

=1，
∴函數(shù)y=sinπxcosπx符合題意，得C項(xiàng)正確；
∵對(duì)于函數(shù)y=sin （2πx+

π

3

），f（-x）=sin（-2πx+

π

3

）≠-sin（2πx+

π

3

），
∴函數(shù)y=sin （2πx+

π

3

）不是奇函數(shù)，可得D項(xiàng)不正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和最小正周期的求法，一般先將函數(shù)化簡(jiǎn)整理，再對(duì)照三角函數(shù)奇偶性和周期公式來(lái)解決．