Question

若函數g(x)=

cos π 2 x，  x≤0 log4(x+1)+k，x＞0

的值域為[-1，+∞），則k的取值范圍是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：當x≤0時，g（x）=cos

π

2

，其周期T=4，當x＞0時，g（x）=log₄（x+1）+k，結合題意可得當x=0時，g（0）=k∈[-1，1]，從而可求得k的取值范圍．

解答：解：∵g（x）=

cos π 2 x，  x≤0 log4(x+1)+k，x＞0

，
∴當x≤0時，g（x）=cos

π

2

x，其周期T=

2π

π 2

=4，
∴當x≤0時，-1≤g（x）≤1，
當x＞0時，g（x）=log₄（x+1）+k，g（x）可看做將f（x）=log₄x向左平移一個單位，再向上平移k個單位，
又∵g（x）的值域為[-1，+∞），
∴當x=0時，g（0）=k∈[-1，1]，
故k的取值范圍是-1≤k≤1．
故答案為：[-1，1]．

點評：本題考查分段函數，著重考查余弦函數與對數函數的定義域和值域，突出考查數形結合思想，分析轉化思想的運用，屬于中檔題．