Question

（本題滿分10分）

如圖，已知三棱錐O－ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中點．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：解：（I）以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

則有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．

 

所以，cos<>．          ……………………3分

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，

所以，異面直線BE與AC所成角的余弦值是．      ……………………5分

（II），，

設平面ABE的法向量為，

則由，，得，

取，

又因為

所以平面BEC的一個法向量為n₂＝（0，0，1），

所以． ……………………8分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補角，

所以，二面角A－BE－C的余弦值是．……………………10分

考點：本試題考查了異面直線的角和二面角的求解。

點評：對于角的求解問題，一般分為三步進行，一作，二證，三解答。因此要掌握角的表示，結合定義法和性質來分析得到角，進而求解，屬于基礎題。